Направленный ответвитель на связанных линиях. Анализ и расчет с помощью S-параметров

Связанные длинные линии передач используются для создания фильтров, сумматоров и делителей, направленных ответвителей, КСВ-метров и т. п. Чаще всего на высоких частотах такие линии создаются на основе микрополосковой технологии и могут быть как симметричные, так и несимметричные и иметь разнообразную пространственную конфигурацию. Эта статья является справочным материалом к нашим калькуляторам посвященным расчету таких линий, а также как пример использования S-параметров.

Для лучшего понимания метода расчета связанной линии, возьмем в качестве примера анализ реального устройства — направленного ответвителя. Это устройство состоит из двух связанных линий и имеет четыре порта. Поскольку многие радиолюбители имеют в своем распоряжении векторные анализаторы цепей, будет полезно провести анализ с помощью S-параметров. В общем случае четырех-портовое устройство характеризуется аж 16-ю S-параметрами. Однако направленный ответвитель из нашего примера обладает квадратурной симметрией. В принципе, это термин математический, но проще его понять на основе геометрии, то есть если на нашем чертеже изобразить координатную плоскость XY, то то, что попало в один угол этой плоскости будет симметрично остальным трем. Проще говоря, обе линии совершенно одинаковы. В таком случае выполняется условие равенства ряда параметров S-матрицы рассеяния, например S11 = S22 = S33 = S44. Тогда достаточно измерить/вычислить только 4 независимых элемента матрицы, а сама она будет выглядеть тоже вполне  симметричным образом:Волновое сопротивление всех портов одно и то же и его величина называется «системным импедансом» устройства Zo. Другими словами, системный импеданс — это волновое сопротивление всех четырех его входов/выходов. Обычно оно равно волновому сопротивлению всей системы волноводного тракта в которую включен направленный ответвитель.

Для анализа подобных устройств СВЧ применяется процедура Even/Odd mode analysis. Она заключается в том, что достаточно сложное электромагнитное взаимодействие двух линий, при котором имеют место как прямые, так обратные волны, можно свести к двум частным случаям.

1. Линии возбуждаются от портов 1 и 3 двумя волнами одинаковой амплитуды и фазы — синфазно. Так называемый «четный режим» возбуждения (Even mode).
2. Линии возбуждаются двумя волнами одинаковой амплитуды и с противоположной фазой — противофазно. Так называемый «нечетный режим» возбуждения (Odd mode).

В этих двух режимах конфигурация электромагнитного поля значительно различается. На рисунке можно видеть конфигурацию силовых линий электрического поля:Из этого следует, что по крайней мере погонная емкость каждой линии в разных режимах разная, а значит разнятся и волновые сопротивления. Поэтому вводятся такие понятия как волновое сопротивление при четном режиме возбуждения — Zeven и при нечетном — Zodd. Если линии никак не взаимодействуют друг с другом, то Zeven = Zodd = Zo. При связи между линиями Zeven и Zodd всегда разные и всегда справедливо условие
Zeven > Zo > Zodd. Все эти волновые сопротивления связаны между собой следующим выражением:При использовании связанных линий в качестве направленного ответвителя порт1 используется в качестве порта возбуждения, а остальные три в качестве пассивной нагрузки. Кроме того, должно соблюдаться условие отсутствия отражений, то есть КСВ = 1 или S11 = 0. На практике это трудно достижимо, то есть мы рассматриваем здесь идеальный направленный ответвитель. Очевидно, что часть волны дойдет по прямому пути до порта2, часть ответвится во вторую линию. Параметр S31 показывает какая доля волны дойдет до порта3. В общем случае он является комплексной величиной и зависит от электрической длины линий θ = βl, где β=2π/λ - постоянная распространения зависящая от длины волны, а l - физическая длина линий: Нас интересует частный случай когда электрическая длина связанных линий составляет 90° или если физическая длина равна четверти длины волны. В этом случае ctg(θ) = 0 и S31 определяется следующим образом:Формула для S41(θ) аналогична формуле S31(θ), только в знаменателе вместо котангенса стоит тангенс. Очевидно, что в случае четвертьволновой линии для идеального направленного ответвителя tg(θ) = ∞ и следовательно S41 = 0, то есть в четвертый порт волна не попадает. В реальной конструкции этот свободный выход конечно же должен быть нагружен активным сопротивлением, равным системному импедансу. Это правило должно соблюдаться и при измерении устройства с помощью векторного анализатора. Мы подключаем выходы анализатора к тем портам, параметры которых нас интересуют, а свободные порты всегда нагружаем системным сопротивлением.

Важным параметром направленного ответвителя является коэффициент связи. В сети полно абсолютно безграмотных переводов англоязычных ресурсов, которые позиционируют себя в качестве учебных материалов. Почему безграмотных? Достаточно отметить, что "искусственный интеллект" вставил в текст этих переводов такие вещи как "мощность инцидента" и "задняя мощность". Последнее, кстати, кагбэ на что-то намекает относительно этих горе-учителей. Что такое "соответствие одиночного окурка" вообще трудно догадаться (должно быть "согласование с помощью одиночного шлейфа").  В этих, с позволения сказать, "учебниках" коэффициент связи часто путают не только с переходным ослаблением, но даже с прямым! Как на скрине. Да и вообще с определением этого понятия путаница похлеще, чем с определением "обратных потерь". На самом деле коэффициент связи двух связанных линий однозначно определяется соотношением четного и нечетного импедансов: Поскольку мы пользуемся S-параметрами, то давайте будем основываться на них. Тогда очевидно, что для нашего идеального примера S31 = с. Абсолютная величина коэффициента связи всегда меньше единицы, что вполне логично и роднит его с аналогичными понятиями из классической теории линейных цепей. Коэффициент связи обычно принято выражать в децибельной форме Cf = 20 log₁₀ (с). В таком случае величина Cf всегда отрицательна, совпадает с величиной коэффициента связи, выраженной через его стандартное определение как отношение мощностей, а с «переходным ослаблением» она отличается только знаком.

Доля прямой волны или коэффициент прямой передачи идеального направленного ответвителя определяется следующим выражением: Из выражения следует, что при c=1/√2 (или в децибельном выражении Cf=-3 dB),

|S21| = |S31| и волна делится пополам между выходами 3 и 2. Такой направленный ответвитель называется «трехдецибельным». «Вносимые потери» определяются так: L = -20log₁₀(|S21|). Понятие «вносимые потери» полностью идентично понятиям «прямое ослабление» или «рабочее затухание» и всегда имеет положительное значение. Нужно понимать, что в нашем примере идеального направленного ответвителя реальные тепловые потери в линии не учитываются. Сколько зашло мощности через порт 1, столько суммарно и вышло через порты 2 и 3. Параметры направленного ответвителя со словами "потери, ослабление, затухание" никакого отношения к реальным тепловым потерям не имеют и родственны понятию "возвратные потери".

Фаза волны порта3 совпадает с фазой волны порта1, а фаза порта2 отстает на 90°. Отставание возникло из-за задержки при распространении в линии длиной λ/4. Распределение фаз также видно из формул определяющих S31 и S21, достаточно просто вспомнить как выглядит плоскость комплексных чисел. Эти фазовые сдвиги необходимо учитывать при использовании направленного ответвителя, например в качестве сумматора. Два равных сигнала со сдвигом фаз 90° называют квадратурными и часто используют на практике. В частности для создания антенн с круговой (вращающейся) поляризацией. Трехдецибельный направленный ответвитель относится к классу квадратурных делителей мощности. Практический пример изготовления и применения такого ответвителя для УКВ описан в журнале Радио №12 1969 г, для ДМВ —  в журнале Радио №1 1970 г. По причине, описанной ниже, на СВЧ популярны другие схемы, например «Гибридный мост» или «Мост Вилькинсона». 

Как рассчитать направленный ответвитель на связанных линиях? Системный импеданс чаще всего определен волновым сопротивлением всей системы волноводного тракта и обычно является фиксированной величиной, например 50 Ом. Коэффициент связи определяет долю энергии, которую нам необходимо ответвить во вторую линию. Если нам известны системный импеданс и коэффициент связи, то мы можем определить величину чётного и нечётного импеданса связанных линий:А величины чётного и нечётного импеданса в свою очередь зависят от геометрических размеров связанных линий и прежде всего от расстояния между ними. Для каждого вида таких линий существует своя методика расчета размеров, а также свои особенности и ограничения. Например, с помощью микрополосковых несимметричных линий с боковой связью невозможно реализовать коэффициент связи больше -10 дБ, то есть трехдецибельный направленный ответвитель на их основе сделать не получится, нужно применять линии с лицевой связью либо другие решения. Кроме того, постоянные распространения для четного и нечетного режима в такой линии различаются, что является дополнительной проблемой.

Обратим ваше внимание, что мы имеем дело в двумя двухпроводными связанными линиями. В качестве второго проводника для каждой линии выступает общий «земляной» проводник или полигон на обратной стороне печатной платы. Однако такие связанные линии в цифровой технике используются как симметричные или квази-симметричные дифференциальные пары с общей референсной «землей». В таком случае необходимо знать волновое сопротивление такой парной линии при синфазном возбуждении Zcom и при дифференциальном возбуждении Zdif, которые определяются следующими выражениями:

У многих может возникнуть резонный вопрос. Почему в нашем примере связанным оказывается порт3, а порт4 оказывается изолированным? Не ошибка ли это? Ведь по умозрительной логике, глядя на чертеж, "правильно" должно быть совсем наоборот. Тем более, что в большинстве справочных и учебных материалов нарисовано обычно как раз "правильно". На самом деле все гораздо сложнее и умозрительная логика в данном случае не работает. Ведь волна "перепрыгнув" с основной линии 1-2 на линию 3-4 не обладает какой-то "инерцией", которая заставляет ее двигаться исключительно в сторону порта4. Она движется в обе стороны. Все эти "перепрыгнувшие" с разных участков связанной линии волны складываются (интерферируют) в портах с учетом амплитуды и фазы. В случае линии длиной λ/4, в порту3 они суммируются, а в порту4 взаимно компенсируют друг друга. Но если электрическая длина линии другая, то интерференционная картина меняется, и порты 3 и 4 могут поменяться ролями, например в линии длиной λ/2. Это также хорошо видно из формул для S31(θ) и S41(θ).

Здесь мы проанализировали самый простой вариант идеального направленного ответвителя. В реальных конструкциях все намного сложнее. Например в КСВ-метре волновое сопротивление выходов вторичной измерительной линии часто не равно системному импедансу или, другими словами, волновому сопротивление основного тракта передачи. Кроме того, в реальных устройствах КСВ никогда не равен точно единице, а это значит, что нам так или иначе необходимо учитывать наличие отраженных волн. Да и потери энергии тоже имеют влияние на результат. Все эти обстоятельства значительно усложняют расчет. Но это уже совсем другая история...

Ссылки по теме:

• Расчет связанной микрополосковой линии с боковой связью - онлайн калькулятор;
• Расчет связанных полосковых линий с лицевой связью - онлайн калькулятор;
• Полосковые СВЧ делители/направленные ответвители - описание различных видов направленных ответвителей;
• ПРОЕКТИРОВАНИЕ НАПРАВЛЕННОГО ОТВЕТВИТЕЛЯ НА СВЯЗАННЫХ ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ;
• Power dividers and directional couplers;
• Coupled Line Couplers - Microwave Encyclopedia;
• Coupled-Line Couplers - The University of Kansas [PDF];
• Directional coupler 144 and 432 MHz - OK2KWW;
• 1296 MHz HOME MADE MICROSTRIP DIRECTIONAL COUPLERS - EA4NZ;